Курс математического анализа: Ч. 1: Кн. 2: Интегральное исчисление функций одной переменной; Дифференциальное исчисление многих переменных

Обратное, однако, неверно: функция F (x :, у, z, ...), непрерывная по каждому аргументу в отдельности, может и не быть Н. ф. этих аргументов. Простейший пример этого даёт функция F (x , у ), равная xy/ (x2 + y2 ), если x2 + y2 1 0, и равная 0 при x = у = 0. Она непрерывна по x при любом фиксированном значении y по y — при любом фиксированном значении х. В частности, она непрерывна по x при у = 0 и по y при x = 0. Если же положить, например, у = х 1 0, то значение функции будет оставаться равным x2 / (x2 + y2 ) = 1 /2 , т. е. нельзя будет указать такого числа d > 0, чтобы при одновременном выполнении неравенств |х | < d, |у | < d выполнялось неравенство |ху/ (х 2 + y2 )| < e. На Н. ф. нескольких переменных распространяются все основные теоремы, относящиеся к Н. ф. одного переменного.   Лит.: Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, М., 1953; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970. Рис. 1 к ст. Непрерывная функция. Рис. 3 к ст. Непрерывная функция. Рис. 4 к ст. Непрерывная функция. Рис. 2 к ст. Непрерывная функция ...»