Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке. Оценки, асимптотические формулы, ортогональные ряды

Литлвуд опубликовали (1922—23) серию мемуаров под общим названием «Partitio Numerorum», в которых развили общий метод решения аддитивных задач Ч. т., получивший впоследствии название «кругового». Этот метод (на примере решения проблемы Варинга) состоит в следующем: пусть [missing picture], ,   тогда   где Ik (N ) — число решений уравнений Варинга, которое находят по формуле .   Г. Харди и Дж. Литлвуд изучали последний интеграл при R ®1— 0. Окружность интегрирования определённым образом разбивается на «большие» и «малые» дуги (отчего и получил название метод), при этом интегралы по «большим» дугам дают главный член асимптотической формулы для Ik (N ), а по «малым» — остаточный. Т. о. получают асимптотическую формулу величины   где s(N ) — некоторый «особый ряд»; s(N ) 3 с > 0, d >0 и k 3 (n —2)2n 3/4 1 + 5. С помощью этого метода Г. Харди и Дж. Литлвуд получили следующие результаты: дали новое решение проблемы Варинга, причём в форме более точной, чем это было у Д. Гильберта; дали условное решение проблемы Гольдбаха; сформулировали и выписали гипотетические формулы для количества решений большого числа уравнений с простыми числами.   В начале 30-х гг. 20 в. И. М ...»