Решение дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа применительно к задачам теории электромагнитного поля

Всякая интегральная поверхность уравнения (1) представляет собой геометрическое место Х., пересекающих некоторую кривую; уравнение такой поверхности может быть записано в виде F [j(x , y , z ), y(x , y , z )] = 0, где F — некоторая функция двух переменных. Обратно, чтобы найти интегральную поверхность, проходящую через заданную кривую (см. Коши задача ), достаточно построить геометрическое место Х., пересекающих эту кривую. Задача Коши имеет одно и только одно решение, если заданная кривая не является Х. Понятие Х. обобщается на случай дифференциального уравнения 1-го порядка с числом независимых переменных, большим двух.   Х. дифференциального уравнения 2-го порядка      (3) были введены Г. Монжем (1784, 1795) как линии, вдоль которых удовлетворяется обыкновенное дифференциальное уравнение .     (4)   Если уравнение (3) принадлежит к гиперболическому типу, то получаются два семейства Х. с уравнениями x(x , y ) = C1 и h(х , у ) = C2 (C 1 , C 2 — произвольные постоянные); взяв x и h за новые аргументы, можно привести уравнение (3) к виду .   Для уравнения (3) параболического типа эти семейства совпадают; если выбрать аргумент h произвольно, то уравнение (3) приведется к виду .   Уравнение (3) эллиптического типа не имеет вещественных Х.; если записать решение уравнения (4) в виде x ± i h = C , то уравнение (3) преобразуется к виду .   Значения решения и вдоль Х. и значения  и  в какой-либо её точке полностью определяют значения этих производных вдоль всей линии [на этом основан т. н. метод Х. решения краевых задач для уравнения (3)]; для других линий такой связи нет ...»