Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии

Все нулевые векторы считаются равными. Изображенные на рис. 1 векторы а и b коллинеарны и равны. В В. и. рассматриваются свободные векторы.   В векторной алгебре важную роль играют линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Суммой а + b векторов а и b называют вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора а (рис. 2 ). Происхождение этого правила связано с правилом параллелограмма сложения векторов (рис. 3 ), источником которого является экспериментальный факт сложения сил (векторных величин) по этому правилу. Построение суммы нескольких векторов ясно из рис. 4 . Произведением aа вектора а на число a называется вектор, коллинеарный вектору а , имеющий длину, равную la l. la l, и направление, совпадающее с направлением а при a > 0 и противоположное а при a < 0. Вектор —1 · а называется противоположным вектору а и обозначается —а . Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают следующими свойствами:   1) а + b = b + a ,   2) (a + b ) + c = a + (b + c ),   3) а + 0 = а ,   4) a + (-a ) = 0 ,   5) 1 · a = a ,   6) a (ba ) = (ab ) a ,   7) a (a + b ) = aа + ab ,   8) (a + b ) a = aa + ba .   В векторной алгебре часто используется понятие линейно зависимых и линейно независимых векторов. Векторы a1 , a2 , ..., a n называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа a1 , a2 ,..., an из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация (a1 a1 +... + an a n ) этих векторов равна нулю. Векторы a1 , a2 ,..., an , не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми ...»