Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега.

Все функции, встречающиеся в математическом анализе, измеримы в этом смысле. Более того, до настоящего времени (1972) не построено ни одного индивидуального примера неизмеримой функции. Таким образом, для случая ограниченных функций Лебег решил задачу определения интеграла (6) с общностью, исчерпывающей потребности математического анализа. Среди функций, интегрируемых по Лебегу, имеется сколько угодно функций, всюду разрывных и, следовательно, неинтегрируемых по Риману. Наоборот, каждая интегрируемая по Риману функция интегрируема и по Лебегу.   Определение Лебега обобщается на случай интегрирования по полупрямой и по полной прямой, т. е. на случай И. вида После этого обобщения теория Лебега охватывает все случаи абсолютно сходящихся несобственных интегралов .   Общность, достигнутая в определении Лебега, весьма существенна во многих вопросах математического анализа; например, только с введением интеграла Лебега могла быть установлена теорема Фишера — Риса в теории тригонометрических рядов, в силу которой любой ряд для которого представляет функцию f (x ), порождающую коэффициенты an и bn по формулам где И. понимаются в смысле Лебега.   Интеграл Стилтьеса. В конце 19 в. определение интеграла Римана подверглось совершенно иному обобщению, чем то, к которому привело введение понятия меры множества ...»